小应变几何非线性问题有限元求解

摘要： 本文以小应变几何非线性问题为研究对象，以最小势能原理或虚位移原理基础，对小变形几何非线性问题的求解方程作有限元分析；按修正拉氏表述、全量拉氏表述给出小变形几何非线性有限元方法求解位移基本量的迭代公式，这种迭代公式对于小变形几何非线性问题的有限元分析具有非常重要的理论价值及应用价值。

Abstract: Taking the geometric nonlinear problems of small strain as research object, the paper makes finite element analysis for the solving equations of small deformation geometrically nonlinear question by the principle of minimum potential energy or imaginary displacement principle basis. According to the fixed Laplace expression, total content Laplace expression, the small deformation geometry nonlinear finite element method to solve the basic amount of iterative formula displacement is given, and this iterative formula has a very important theory value and application value for small deformation geometrically nonlinear finite element analysis.

关键词： 有限元方法；几何非线性；小应变；拉氏表述

Key words: finite element method；geometry nonlinear；small strain；Laplace expression

中图分类号：O34 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）２4-0044-02

0引言

有限元方法[1-3]在实际工程中得到了广泛的应用，针对小应变几何非线性问题有限元求解方面有较多的应用成果[5-8]，如大跨度桥梁几何非线性问题[5]、大跨度斜拉桥非线性静力分析[6]、平面梁杆结构几何非线性分析[7]及平面桁架的几何非线性有限元分析[8]等，同时针对基础理论的公式推导也有相应的成果，如微分刚度计算[9]、两节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法[10]等。这些成果都有较好的工程应用前景，笔者采用理论推导方式，在有限元基本求解方程的基础上，结合预应力锚固体系的理论分析及实践研究[4]的课题项目，推导可直接用于课题研究的有限元求解迭代公式。

1问题提出

结构出现大位移时，就属于几何非线性问题，平衡方程应在变形后的位形上建立，而变形后的位形是比较复杂的，通常用变形前已知坐标来表示，只要位移不符合“小位移”或“小变形”的条件，在应变位移关系中就有非线性项，结构刚度阵就不再是常数，而是位移的函数，致使有限元方程组成为非线性的代数方程组。在大位移问题中，结构各部分应变可能是大的，也可能是小的，但在梁、板、壳等结构中，常常是大位移小应变。如图1所示，悬臂梁中微小段AB位移到A′B′，从局部看A′B′的应变是微小的，从整体看位移是很大的。

在工程结构中小应变大位移问题普遍存在，有单独研究必要，同时在小应变问题中，有关应力和应变的定义可沿用线性理论中人们熟悉的概念，比较容易理解，至于大应变问题，需重新定义应力和应变，一般用连续介质力学理论，连续介质力学描述位移有两种方法，以变形前初始坐标为自变量的拉格朗日坐标或物质坐标；以变形后瞬时坐标为自变量的欧拉坐标或空间坐标。

２修正拉氏表述

大位移的主要影响在于不能忽略位移引起的整体几何形状的变化，如图2所示，单元由AB位移到A′B′，其方向的变化（转动角θ）就是不能忽略的几何形状的变化，它是节点位移uA、vA、uB、vB的函数。

迭代过程收敛后，外荷载可增加到另一新水平，再开始新的迭代，找到新的平衡位置，这样就把迭代法与增量法结合起来完成最后的求解。

3全量拉氏表述

拉氏描述法始终以初始位置为参考系，一切位移、刚度、微分、积分等都相对初始位置为参考，在变形过程中，相对初始位置的位移是位移全量，如图3所示，一端固定铰接的杆单元，长为L截面为A，节点位移仅有u1、v1。

将[k0]转换到初始位置有

对照（3）式与（4）式，则有（3）式左端第三项就是[kL]，称为初始位移矩阵，它就是把相对动坐标系的线性刚度阵转换到初始位置时所产生的附加刚度阵，（3）式左端第二项称为初应力矩阵[kσ]，它反映轴向力对横向位移的影响。

式中[K0]为通常的线性刚度阵，它不是位移函数，[N1]、[N2]分别为位移的一次和二次函数，全量拉氏表述增量方式的平衡方程可用牛顿迭代法进行求解，后者用直接迭代法求解。

4结论

4.2 如果所研究的对象比较简单，也就是在变形过程中，相对初始位置的位移是位移全量，可以采用全量拉氏表述进行求解，全量拉氏表述增量方式的平衡方程可用牛顿迭代法进行求解，因此可以用直接迭代法求解。

参考文献：

[1]徐芝纶.弹性力学[M].第4版.北京:高等教育出版社，2006.

[2]龙驭球，岑松，龙志飞.新型有限元论[M].北京:清华大学出版社，2009.

[3]殷有泉.非线性有限元基础[M].北京:北京大学出版社，2007.

[4]鄞少强，胡可等.预应力锚固体系的理论分析及实践研究[J].价值工程，2011，（01）.

[5]刘星庚，伍小平等.大跨度桥梁中的几何非线性问题[J].湖南工程学院学报（自然科学版），2003，（04）.

[6]李兆香，郑振等.大跨度斜拉桥非线性静力分析[J].福州大学学报（自然科学版），2001，（03）.

[7]王恒华，沈祖炎，陆瑞明等.平面梁杆结构几何非线性分析的一种简便方法[J].计算力学学报，1997，（01）.

[8]邓继华，蔡松柏等.平面桁架的几何非线性有限元分析[J].长沙交通学院学报，2005，（04）.

[9]胡可.基于有限元方法的几何非线性微分刚度计算[J].扬州大学学报，2009，（12）.

[10]杨孟刚，陈政清等.两节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法[J].工程力学，2003，（01）.

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