一类解析几何问题的一般性解法

对于某类问题，如果我们能够把握其本质，并且抽象出该类问题的一般性解法，那么，当我们再次碰到类似问题时，就可毫不费力的把它解决。

先请看2010年辽宁高考题：设椭圆C：+（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线L与椭圆C相交于A、B两点，直线L的倾斜解为60°，=2，求椭圆C的离心率。

类似的问题在近两年的高考中出现的频率较高，因此，我们有必要抽象出该类问题的一般性解法。该类问题的实质是：过椭圆C：+=1（a>b>0）右焦点F的直线L与椭圆C相交于A、B两点，直线L的倾斜解为θ，=λ（λ＞1），椭圆C的离心率为e，确定e、λ、θ三者之间的关系如左图示，过A，B作椭圆C的右准线的垂线，设垂足为C、D，直线L与右准线相交于E，设BF＝r，则AF＝λr，BD＝，AC＝，

由△BDE∽△ACE，因此有：=，即，于是有：BE＝（）r（λ＞1），所以COSθ＝＝。这样，我们就确定了e、λ、θ三者之间的关系，现在回头看2010年辽宁高考题，可迅速得出答案，e=＝ 。

再来年几道类似的高考题

1．（2010全国二）已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为K（K＞0）的直线与C相交于A、B两点，若 ，则K＝_________。

A．1B. C. D. 2

解析：由COS θ＝＝， 所以K=tan θ =，故选B。

2．(2009全国一)已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为L，点A∈L，线段AF交C于点B， ，则|AF| =_______。

A. B. 2C. D. 3

解析：此题虽与上面的题目有些区别，但解决方法是一样的，解决此题的关键是求出直线AF的倾斜角θ。如下图示过B点引准线L的垂线，设垂足为C，FB=r，则BC==r，由=3，得BA=2r，所以COSθ=，而FD=-c=1，所以| | = ，故选A。

3、(2009全国二)已知双曲线C：-(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交于C于A、B两点，若 ，则C的离心率为________。

A． B. C. D.

解析：此题中的曲线虽为双曲线，但此题仍可与上面的问题归为一类，可复制前面的方法来解决。如下图示：

过A，B作双曲线C的右准线的垂线，设垂足为C、D，设BF=r，则AF=4r，BD=,AC=,再由=得：=，所以BE=，COSθ=，而θ=60°，得到e=，故选A。

4、(2010重庆)已知以F为焦点的抛物线 =4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为________.

解析：解决此问题的关键是求出直线AB的倾斜角 ，如下图示：过A，B作抛物线C准线的垂线，设垂足为C、D，设BF=r，则AF=3r，BD=r，AC=3r，再由=得=：，所以BE=2r，由COSθ==，得到θ=60°，所以EF=2GF=4=3r，所以r= ，所以弦AB的中点到准线的距离MN===。

推荐访问： 解析几何 解法 一般性

---