基尔霍夫定律的学习体会

摘要：基尔霍夫定律是《电工学》课程中一个很重要的定律，可以说，学好了基尔霍夫定律，相当于学好了《电工学》课程的一半。本文是从基尔霍夫其人→基尔霍夫定律→基尔霍夫定律的应用来进行阐述成文的。

关键词：基尔霍夫其人 基尔霍夫定律 基尔霍夫定律应用

1、 基尔霍夫的生平

基尔霍夫，Kirchhoff，Gustav Robert（1824～1887），德国物理学家。1824年3月12日生于普鲁士的柯尼斯堡（今为俄罗斯加里宁格勒），1887年10月17日卒于柏林。基尔霍夫在柯尼斯堡大学读物理，1847年毕业后去柏林大学任教，3年后去布雷斯劳作临时教授。1854年由R.W.E.本生推荐任海德堡大学教授。1875年因健康不佳不能做实验，到柏林大学作理论物理教授，直到逝世。

1845年，21岁时他发表了第一篇论文，提出了稳恒电路网络中电流、电压、电阻关系的两条电路定律,即著名的基尔霍夫第一电路定律和基尔霍夫第二电路定律，解决了电器设计中电路方面的难题。后来又研究了电路中电的流动和分布，从而阐明了电路中两点间的电势差和静电学的电势这两个物理量在量纲和单位上的一致。使基尔霍夫电路定律具有更广泛的意义。直到现在，基尔霍夫电路定律仍旧是解决复杂电路问题的重要工具。基尔霍夫被称为“电路求解大师”。

在海德堡大学期间，他与本生合作创立了光谱分析方法。把各种元素放在本生灯上烧灼，发出波长一定的一些明线光谱，由此可以极灵敏地判断这种元素的存在。利用这一新方法，他发现了元素铯和铷。

1859年，基尔霍夫做了用灯焰烧灼食盐的实验。在对这一实验现象的研究过程中，得出了关于热辐射的定律，后被称为基尔霍夫定律：任何物体的发射本领和吸收本领的比值与物体特性无关，是波长和温度的普适函数。并由此判断：太阳光谱的暗线是太阳大气中元素吸收的结果。这给太阳和恒星成分分析提供了一种重要的方法，天体物理由于应用光谱分析方法而进入了新阶段。1862年他又进一步得出绝对黑体的概念。他的热辐射定律和绝对黑体概念是开辟20世纪物理学新纪元的关键之一。1900年M.普朗克的量子论就发轫于此。

基尔霍夫在光学理论方面的贡献是给出了惠更斯-菲涅耳原理的更严格的数学形式。对德国的理论物理学的发展有重大影响。著有《数学物理学讲义》4卷。

2、 基尔霍夫定律

要熟悉和了解基尔霍夫定律，首先必须掌握三个基本概念：

支路：简单地说，电路中通过同一电流的分支称为支路。（如左图所示）有acb、adb、ab三条支路。其中，acb、adb支路中有电源，叫含源支路；ab中无电源叫无源支路。

节点：电路中三条及三条以上支路的连接点叫结点。（如左图所示，只有a、b两个节点，c、d不是节点。）

由一条或多条支路组成的闭合路径叫回路。（如左图所示，共有三个回路： abca、adba、cbdac。）

2.1 基尔霍夫电流定律(KCL)

汇于节点的各支路电流的代数和等于零，

用公式表示为：∑I=0

称为基尔霍夫电流定律（KCL）。又被称为基尔霍夫第一定律。

﹡KCL为“Kirchhoff’s Current Law”的缩写；常用KCL代表基尔霍夫电流定律。

基尔霍夫第一定律的理论基础是稳恒电流下的电荷守恒定律。应用时，若规定流出节点的电流为正，则流向节点的电流为负。由此列出的方程叫做节点电流方程。

假设A节点连接着4条支路（如图一所示），那么我们就可以把这四条支路的电流设出来，分别为I1、I2、I3、I4。设流入为正，流出为负。

那么有：I1-I2+I3-I4=0。

对于一个有n个节点的电路，可以列出n-1个独立的方程，组成基尔霍夫第一方程组。

对基尔霍夫电流定律的讨论：

基尔霍夫电流定律是电荷守恒法则运用于集总电路的结果 电荷守恒的意思是:电荷既不能创生也不能消灭。对于集总电路中的任一节点，在某一时刻，流进该节点的电流代数和为Σi(t)，即:dq／dt=∑ki(t)(其中q为节点处的电荷)。而节点只是理想导体的汇合点，不可能积累电荷，电荷既不能创生，也不能消灭，因而节点处的dq／dt必须为零，即得:Σi(t)=0(式中i(t)为流出或流人节点的第K条支路的电流，K为节点处的支路数)。

节点电流的线性相关与线性无关当流过某一个节点的一组电流满足KCL方程时，这一组电流就是线性相关的，否则是线性无关的。

KCL的推广KCL不仅对一个节点适用，它可推广到任意一部分电路上。假想将一部分电路用一闭合面围起来（如图二所示），由于流人每一元件的电流等于流出该元件的电流，因此，每一元件存贮的净电荷也为零，所以整个闭合面内存贮的总净电荷为零。于是得KCL的另一种表述：流人或流出封闭面电流的代数和为零，即：Ia+Ib+Ic=0。同时说明，不论电路中的元件如何，只要是集总电路，KCL就总是成立的，即KCL与电路元件的性质无关。

2010年5月，美国伊利诺斯大学电子和计算机工程教授米尔顿·冯和小尼克·侯隆亚克等研究人员通过开发出的三端口晶体管激光器（three-port transistor laser），对基尔霍夫电流定律进行了修正，将电流定律扩展为电流—能量定律。

2.2 基尔霍夫电压定律（KVL）

沿任意回路环绕一周回到出发点，电动势的代数和等于回路各支路电阻（包括电源的内阻在内）和支路电流的乘积（即电压的代数和）。

用公式表示为：∑E=∑RI

称为基尔霍夫电压定律(KVL)。又被称为基尔霍夫第二定律。

﹡KVL为“Kirchhoff’s Voltage Law”的缩写；常用KVL代表基尔霍夫电压定律。

基尔霍夫第二定律的理论基础是稳恒电场条件下的电压环路定理，即：沿回路环绕一周回到出发点，电压降为零。电流及电动势的符号规则是：选定一绕行方向，电流方向与绕行方向相同时电动势符号为正，反之为负。由此列出的方程叫做回路电压方程。

例如，如左图回路cadbc，回路中电源电动势、电流和各段电压的参考方向均已标出。按虚线所示的回路参考方向可列出方程式:

Ubc+Uca+Uad+Udb=0

即U1+U2+U3+U4=0

也就是∑U=0

实在更为一般的电路中一个回路的各个边上的电流并不一定相等，但是仍然可以将各个边上的电流设出来（如果未知的话，可以计算出来的就不要设了，表示一下就可以），用同样的方法进行计算。基尔霍夫电路定律的应用当电路中各电动势及电阻给定时，可任意标定电流方向，根据基尔霍夫方程组即可唯一的解出支路的电流值。

2.3 基尔霍夫定律的推广

基尔霍夫定律不公应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

例如：如左图示电路：

对于电路绕行方向，根据KVL有：

Ua-Ub-Uab=0

或：Uab=Ua-Ub

例题：有一闭合回路如左图示，各支路元件是任意的，但已知：Uab=5V，Ubc=-4V，Uda=-3V。试求Ucd，Uca

解：对于abcda回路，用KVL有：

Uab+Ubc+Ucd+Uda=0

得：Ucd=-Uab-Ubc-Uda=2V

对于abca回路，利用KVL有：

Uab+Ubc+Uca=0

得：Uca=-Uab-Ubc=-1V

3、基尔霍夫定律的应用

基尔霍夫定律是电路计算的理论基础，根据基尔霍夫定律可以导出其他一些有用的定理：例如网孔电流定理，支路电流定理，节点电压定理等等，这些定理给电路计算带来了很大的方便，是电路分析和计算的有效工具。下面分别加以说明：

3.1 网孔电流分析法

网孔电流法是根据电路的特点，以单一的回路作为一个网孔，设立每一网孔一个电流，利用KVL编写出方程，求出网孔电流；再用KCL求出各支路电流的一种电路的分析方法。

例如：如图示电路，已知E1=140V，E2=90V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω，试求各支路电流。

分析：该电路有两个网孔，三个支路，两个节点，如左图示。根网孔分析法，设定两个网孔的电流分别为Il1和Il2，其绕行方向和参考方向如图示。

椐KVL列出方程为：

对于l1回路：-E1+Il1ⅹR1+( Il1- Il2)ⅹR3=0┄┄(1)

对于l2回路：E2+（Il2-Il1）ⅹR3+Il2ⅹR2=0┄┄(2)

联立方程（1）（2）解，求得Il1=4（A），Il2=-6（A）

再用KCL可求出：I1=Il1=4（A）

I2=-Il2=6（A）

I3=Il1-Il2=10（A）

3.2 支路电流法

支路电流法是应用KCL、KVL分别对节点、回路列出方程，然后联立方程组，求解出相应的未知电量的过程。

例如：图示电路此电路有4个节点a、b、c、d，三个网孔，6条支路。

根据KCL列出方程为：

I1＋I2＝I4 ┄┄（1）

I3＋I4＝I5 ┄┄ （2）

I1＋I6＝I5 （3）

据KVL列出三个回路的电压方程为：

对l2回路：E1＝I1×r1＋I4R1＋I5R2（4）

对l1回路：E2－E3＝I2×r2＋I4R1－I3×r3 （5）

对l3回路：E3＝I3×r3＋I5R2＋I6R3（6）

以上为6个方程，联立求解，可求出6个未知电流。

3.3 结点电压定律

结点电压定律就是利用KVL先计算出结点电压，再计算出各支路电流的方法，又称为结点电压法。

例如图示电路：

各支路电流可应用KVL得出

I1=

I2=

I3=

I4=

又据KCL有I1+I2-I3-I4=0，将上四式代入得：

整理得：U=

上式中，分母的各项总为正；分子各项可以为正，也可以为负。当电动势和结点电压参考方向相反时取正号，相同时取负号，而与各支路电流的参考方向无关。

3.4 戴维宁定理

任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为E的理想电压源和内阻R0 串联的电源来等效代替如图所示。等效电源的电动势E就是有源二端网络的开路电压U0，即将负载断开后a,b两端之电压。等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源都除去（将各个理想电压源短路，即其电动势为零；将理想电流源开路，即其电流为零）后所得到的无源网络a，b两端间的等效电阻。这就是戴维宁定理。

例题：用戴维宁定理求下图电路中的支路电流IG。已知：E=12V，R1=R2=5Ω，R3=10Ω，R4=5Ω。中间一支路是一检流计，其电阻RG=10Ω。求IG=？

解：上图所示，左边的桥式电路可等效成右边的电路。

等效电源电动势E1可由上图左求得：

I1=

I2=

于是

E1=U0=R3I2-R1I1=2V

或E1=U0=R2I1-R4I2=2V

等效电源的内阻R0可由上图右求得：

R0=

而后由等效电路求出

IG=

显然，比用支路法求解简便得多。

基尔霍夫定律在稳恒条件下是严格成立的，在准稳恒条件下，即整个电路的尺度远远小于电路工作频率下的电磁波长时，基尔霍夫定律也符合得很好。在交流电中，基尔霍夫定律和向量法、拉普拉斯变换（Laplace Transform）的结合使用，可以让交流电路如同稳恒电路一样大大简化。1、基尔霍夫电压定律是能量守恒法则运用于电路的结果 能量守恒的意思是：若在某时间内的电路中某些元件得到的能量有所增加，则它的另一些元件的能量必须有所减少，一定保持能量的收支平衡。这一情况对电压间的关系有很大的影响。如图一知，沿这二个回路各支路的电压降的代数和为零。同理，对任一集总电路，若元件有K个，得：对于任一集总电路中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压降的代数和为零，即：ΣUk=0，这就是KVL。

4、结语

对于KCL:(1)是守恒律的体现，既是电荷的守恒，又是能量的守恒。(2)无论是抽象出来的电路结点甚至凭空想象的包围曲面，流入量等于流出量，不是平衡是什么？而且是一种动态平衡（active balance）否则结点内或者曲面内有电荷源，这个是不可能的；(3)不妨将电流看作矢量，将一个结点或者一个想象的曲面都看作是一个曲面S包围着结点(1个或者多个)，这个是电流"矢量"关于这个曲面 S的通量，表示了穿入和穿出闭合曲面S的代数和，如0，表示曲面内有通量源。所以，基尔霍夫电流定律突出了一个连续性，电流值之连续性，如同在小河中矗立一块巨石，石将水分为二股，而水过石后合二为一，水流和水量都不变，也体现了连续性，其实有着深刻的哲学思想，也是集总元件的特性的体现。

对于KVL:(1)体现了电压与路径无关；(2)也是集总元件的特性，两点无论从哪一条路径看进去或者从不同路径的计算，都是相同的电压量，也就是说两点之间的电压式单值量;(3)对于一个回路，不妨将电压量也看作是矢量，为电压眼遮盖回路的环量，体现了旋度的含义，若旋度为0，为保守场，也就是体现了和路径无关的概念。

参考文献

[1]《电工学》上下册.秦曾煌主编.高等教育出版社.

[2]《电工基础教程》.王其红主编.电子工业出版社.

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