伯努利试验的推广及应用

摘 要 伯努利（Bernoulli）试验作为一类典型的概率模型，可以引申拓展得到多种广泛应用的概率分布模型.文章介绍了由伯努利概型拓展推广得到的两点分布，二项分布，几何分布，多项分布以及帕斯卡分布等重要分布，并介绍了这些重要分布在生产实际中的简单应用.

关键字 伯努利试验；两点分布；二项分布；几何分布；多项分布；帕斯卡分布；应用

中图分类号O21 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2013）105-0120-03

伯努利（Bernoulli）试验作为史上最早被研究的概率模型之一，它从本质上反映一类试验：具有“二值”属性的随机试验.伯努利试验的应用十分广泛，在企业产品的质量控制管理与检测，金融行业的风险预测与控制，以及生物学上的群体遗传等方面都具有尤为突出的理论地位.

若在一次随机试验中，试验的结果只有两种“成功”或者“失败”，为方便描述记为基本事件和，且，则随机试验称为伯努利试验.

1伯努利试验推广的概率分布

重伯努利试验：伯努利试验在相同条件下独立重复地进行次，即进行随机试验其中试验代表一次伯努利试验，而且任意两次试验的结果相互之间不干扰，在每次子试验中事件发生的概率不变为，则试验称为重伯努利试验.

推广的伯努利试验：在一次随机试验中，试验有种不同的两两互斥的结果，试验结果为的概率为且，则称随机试验为推广的伯努利试验.

广义重伯努利试验：随机试验需要进行次重复的伯努利试验，即随机试验，其中试验指一次伯努利试验，试验的结果由基本事件和组成，在第次伯努利试验中事件发生的概率为不发生的概率为，且，当事件发生的概率与试验序数有关时，则称随机试验为广义重伯努利试验.

由伯努利试验、重伯努利试验以及推广的伯努利试验和广义重伯努利试验不难拓展推广得到以下的概率分布.

1.1两点分布

两点分布是从一次伯努利试验中提炼出来的简单离散型概率分布。为方便随机事件发生概率的描述，在一次伯努利试验中引入随机变量，伯努利试验的结果由和组成，定义随机变量：且.只进行一次伯努利试验的随机试验满足的分布称为两点分布，即，其中.两点分布又称为伯努利分布和分布.

1.2二项分布

二项分布来源于重伯努利试验，每次伯努利试验的结果由对立事件和构成，且重伯努利试验中每次试验的进行都互不影响，是重复且独立的关系.事件在每次试验中发生的概率为一常数，随机变量为重伯努利试验中事件发生次数，则重伯努利试验中事件发生次数为的概率为

容易验证：，因此重伯努利试验的概率分布称为二项分布.

谈到二项分布，必然涉及到重伯努利试验，于是也必然联想到广义的重伯努利试验，那么广义重伯努利试验对应的概率分布如何呢？假设随机事件中也发生了次独立的伯努利试验，只是每次伯努利试验中事件发生的概率与试验序数密切相关.记事件发生对应的伯努利试验序号组成的集合为，则集合，若还表示广义重伯努利试验中事件发生的次数，则广义重伯努利试验中随机变量满足的概率分布为：

，其中表示集合中元素的数量，.容易验证广义重伯努利试验对应的概率为多项式中的系数.

1.3几何分布

几何分布也是由重伯努利试验推广而来，它本质上来讲可以视为二项分布的一种特例，相比二项分布特殊在于试验次数不受限制可以取任意正整数，而且几何分布的试验结果是进行次伯努利试验时事件首次发生.

进行独立重复的伯努利试验，每次伯努利试验中事件发生的概率为，记随机变量为事件首次发生时需要进行的伯努利试验次数，于是满足概率分布：，则称服从参数为的几何分布，记为.

1.4多项分布

多项分布来源于推广的伯努利试验，独立重复地进行次推广的伯努利试验，设伯努利试验结果为的概率为，事件发生的次数为，则事件发生次，事件发生次，……，事件发生次的概率为：

其中，，因为恰好是多项式的一般式，即，所以该概率分布称为参数为的多项分布.

多项分布是具有个独立参数的维随机变量的概率分布，因为满足关系：.多项分布与二项分布关系密切，参数为的多项分布，其一维边缘分布是参数为的二项分布.

1.5帕斯卡分布

帕斯卡分布同样来自重伯努利试验的推广.进行独立重复的伯努利试验，设每次伯努利试验中事件发生的概率为，记随机变量为事件发生次需要进行伯努利试验的次数，则随机变量满足如下的概率分布：

，其中.

分析帕斯卡分布可以知道：若记直到事件发生次需要进行次独立重复伯努利试验为事件，重伯努利试验中事件发生次为事件，第次伯努利试验事件发生为事件，则容易验证.即帕斯卡分布描述的是由一次特殊的重伯努利试验（事件发生次）和一次事件发生的单独伯努利试验组成的积事件.

2 伯努利试验推广的概率分布的实际应用

2.1广义重伯努利试验的应用

由于广义重伯努利试验在每次进行的伯努利试验中，同一事件发生的概率随着试验次数的不同而发生改变，与实际生活中传染病的传播性质十分类似，所以在医学传染病传播的最初研究中得到了应用.在传染病的蔓延过程中，每一个患病者往往会产生新的病菌，进而增大疾病进一步蔓延的机会，类似地每一个不带菌者也会增加其他人群不被传染的机会，针对这一现象法国数学家卜里耶提出了著名的“卜里耶坛子模型”.

例（卜里耶坛子模型）假设坛子中最初含有个黑球和个红球，进行次抽球试验，每次抽球完成之后将球放回，并向坛子中增加个与该次抽球实验结果颜色相同的球，是一个整数，当为负数时意味着从坛中取出个球.问进行3次试验时出现两个黑球和一个红球，但结果为{黑，红，黑}和{红，黑，黑}的概率是否一样呢？推广而言，次抽球试验结果为个黑球，个红球的任意指定颜色序列其概率，是否会随抽球结果颜色序列指定的不同而改变？

解 卜里耶坛子模型从本质上来讲属于广义重伯努利试验，每次伯努利试验事件发生的概率有所变化.若按照上述中关于广义重伯努利试验概率的计算方法来事件的概率会较为复杂.如下将采用条件概率进行求解.

设事件：第次抽球结果为黑色，则表示第次抽球结果为红色.根据条件概率容易计算得到： ，与此同时

推而广之，按照试验进行，每进行一次抽球试验之后球的总量将增加，因此最终条件概率的分母应该为，在次抽球试验中，当第一次抽到黑球时此时对应的条件概率分项的分子该为，第二次抽到黑球时此时对应的条件概率分项的分子该为，……，第次抽到黑球时此时对应的条件概率分项的分子该为；类似地第次抽到红球时此时对应的条件概率分项的分子该为，因此由分析的过程知道对于试验结果为个黑球，个红球时任意指定序列的概率均为：

若，则上式对成立；若，则上式对成立.

2.2二项分布的应用

二项分布是基于重伯努利试验得到的概率分布，具有广泛的应用.在质量管理控制中，不合格产品数控制图和不合格率控制图的绘制；一些抽样检验方案的制定；经济活动中风险的管理与决策以及人力物力资源的合理分配都要用到二项分布.

例（电力资源分配）某金工车间有10台机床设备，每台机床设备正常工作时提供动力的电动机消耗功率为一个单位功率，每台电动机每小时只工作12分钟，而且每台电动机工作与否彼此之间相互独立.但该季度当地的供电部门电力资源不足，需要对当地所有电力消耗较大的所有公司减少电力资源供应，进行优化分配.同时这家工厂对供电部门也提出了要求，分配给该金工车间的电力资源至少要保证能让10台机床设备在99%的时间内正常运行.问供电部门至少向该金工车间提供多少个单位的电力资源？

解 由题意可知道每台机床只有“开动”和“不开动”两种状态，开动的概率为，不开动的概率则为，而且每台机床的工作状态相互独立.设随机变量为某一时刻正常运行的车床设备数量，电力部门向该金工车间提供个单位功率的电力资源，取正整数，则服从二项分布即.

因此，这10台机床能够正常工作的概率为：

，其中.

上式也表示同时开动着的机床设备数量不超过台的概率.于是，同时开动着不超过4台机床设备的概率为：

类似地可以知道：

因此供电部门至少向该金工车间提供5个单位功率的电力资源才能保证10台机床设备在99%的时间内能够正常运行.

2.3多项分布的应用

当伯努利试验结果由多个两两互斥的基本结果组成时，重伯努利试验就演化成推广的重伯努利试验，对应概率分布为多项分布.多项分布在医学数理统计、故障检测等方面得到了广泛应用[5].

例（血型抽样检测）假设中国人血型为O型、A型、B型、AB型的比例分别为0.41、0.28、0.24、0.07，现随机对5名中国公民进行血型检测，问其中两人为O型，其他人分别为其他三种血型的概率？

解 分析可知5人血型检测的结果可视为相互独立的，每次独立伯努利试验有四种两两互斥的结果，则其概率分布服从多项分布.具体可以理解为：5次独立重复试验中，有两次血型的检测结果为O型，另外三次分别为A、B、AB型，于是所求事件发生的概率为：

2.4帕斯卡分布的应用

帕斯卡分布最著名的应用为巴拿赫火柴盒问题和巴拿赫售货问题.

例（巴拿赫售货问题）某售货员同时销售个书架上同样的本书籍，每次售书时他都是等可能地任选一个书架并从中选取一本，直到他发现某一个书架上的书籍全部售完为止.问这时其余个书架上剩余书本数量由小到大分别为的概率为多少？

解 由于和是否相等会影响概率的计算，此处仅考虑对于任意不等的和，，的情况.为不失一般性，设第个书架最后全部售完，第个书架剩余书本数量分别为，该事件发生的概率记为.事实上，每售出一本书来自的书架都是等可能的，其概率为，记从第个书架售出一本书，……，从第个书架售出一本书.则题中事件可以描述为前次伯努利试验中事件发生次，事件发生次，……，事件发生次，第次试验事件发生的帕斯卡分布.则根据帕斯卡分布概率计算方法可知：

根据排列组合的知识可以知：当售货员发现某一个书架上的书籍全部售完为止，而这时其余个书架上剩余书本数量由小到大分别为发生的概率为：

3 结论

伯努利试验是概率论中地位极其重要的一类随机试验，由它推广得到的典型概率分布如二项分布，多项分布，帕斯卡分布等在质量检测与控制、金融活动中风险的管理与决策、资源的合理分配以及生物遗传学方面被广泛应用，掌握伯努利试验及其推广的概率分布对实际应用具有重要的意义.

参考文献

[1]庄光明，等.基于伯努利试验的概率分布及其应用[J].聊城大学学报，2009，9，22（3）：36.

[2]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社，1976.

[3]钟开莱著，魏宗舒，等译.初等概率论附随机过程[M].北京：人民教育出版社，1980.

[4]杨虎，刘琼荪，等.概率论与数理统计[M].重庆：重庆大学出版社，2007.

[5]田丽娜.多项分布模型初探[J].天水师范学院院报，2003，10，23（5）：8.

[6]魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

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