中心极限定理的证明

摘 要： 本设计的目的在于用MATLAB实现对中心极限定理的证明，当k很大时，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。本文用MATLAB具有的库函数和一些常用算法实现对该定理的数学证明，并用图形加以佐证。

关键词： MATLAB 中心极限定理 证明

一、引言

中心极限定理表明大量独立随机变量的和近似服从正态分布，它是正态分布应用的理论依据。设ζ，ζ，…ζ，…独立分布且E（ζ）=μ，D（ζ）=σ，则当k很大时，η=Σζ近似服从N（kζ，kσ）。

概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后，A.棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1／2的情况进行了讨论，随后，P.S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。

中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

二、基本原理

1.数学模型

独立同分布的中心极限定理

设随机变量X，X，…，X，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E（Xk）=μ，D（Xk）=σ^2>0（k=1，2…），则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn（x）对于任意x满足limFn（x）=Φ（x）。

独立同分布函数表达式y=

正态分布函数表达式y=

2.设计过程

为了证明在k很大时，独立同分布近似服从正态分布，可以分别构造独立同分布函数和正态分布函数，将独立同分布的随机点数目取得足够大，然后绘图观察二者的分布拟合程度。

绘制独立同分布的图形

s=sum(r)；

mu=mean(s)； %求随机数的平均值

sigma=std(s);%求均方差

［n,x］=hist(s,mu-5*sigma:sigma:mu+5*sigma);%取10个点的和

bar(x,n/M/sigma,?謖r?謖);%绘制直方图

绘制正态分布的图形

h=mu-5*sigma:0.1*sigma:mu+5*sigma;%取100个点

t=exp(-(h-mu).^2/2/sigma^2)/sqrt(2*pi)/sigma;%标准正态分布表达式

plot(h,t,?謖K?謖);%绘制数值曲线

三、仿真结果

中心极限定理

分析仿真结果：从单独的一张图来看，正态分布曲线和独立同分布直方图总的来说是较为吻合的，比较两张图形，可以看出下图中二者拟合程度更大，这两张图形所使用的源代码唯一的不同之处在于k的取值，第二张图形中k的取值更大，所以这些可以说明，当k的取值很大时，独立同分布可以近似等同于正态分布。

参考文献：

［１］张志涌，徐彦琴.MATLAB教程——基于6.x版本.北京：北京航空航天大学出版社，2004.

［2］陈桂明等.MATLAB数理统计(6.x).北京：科学出版，2002.

［3］周品，赵新芬.MATLAB数学建模与仿真.北京：国防工业出版社，2009.

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