一类两自由度碰撞振动系统的周期运动与稳定性

摘 要：

冲击振动问题在机械、车辆和核反应堆工程等应用领域中经常遇到。在机械生产中，对于含间隙机械系统和冲击振动系才统而言，如何趋利避害、进行动力学优化设计、提高可靠性以及降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义。一些根本问题的解决，将不仅推动非线性学科的发展，同时为工程设计提供全新的准则。因此，近年来含间隙系统的研究已引起国内外学者的普遍关注。

关键词：两自由度振动系统；动力学

本文根据动力学的理论，建立两自由度振动系统的动力学方程。首先，对模型进行分析，求出运动的微分方程，采用正则模态矩阵将系统解耦，运用解析法推出了Poincaré映射的解析解，由初始的边界条件推导其稳定性，编程实现非线性系统的数学模型；然后选取合适的参数，调出系统通向混沌的Poincaré图进而分析非线性系统的动力学特性。基于六维Poincaré 映射方法研究了系统的Hopf分岔和Hopf-flip余维二分岔以及由环面倍化和概周期通向混沌的过程。对该系统的分岔与混沌行为的研究为工程实际中含间隙对碰机械系统的优化设计提供了理论依据。

1.概述

确定性非线性动力学系统中对初值极为敏感的，貌似随机的运动称为混沌。它不同于无序、紊乱或噪声，具有某种自相似结构。它起源于非线性相互作用，因而普遍地存在着。混沌振动之所以产生，是由于非线性振动系统对初始条件的敏感性[1]。为什么初始条件的微小差别会产生捉摸不定的混沌原信息就损失一位，若 有 位信息，经 次迭代，就完全损失原有信息。由于迭代 次后，原来小数点后第 位，迭代成第一位，则两个仅有小数点 位后微小差别的初值，迭代 次后，差别就变大，故非线性系统对初始条件的微小差别是十分敏感的[2]。正如poincaré所说，“初始条件的微小差别，最终导致根本不同的现象，本来难以预测”，这就是混沌产生的数学机理[3]。一般，混沌振动研究的问题有：（1） 机理，即研究混沌振动出现的原因；（2） 参数，即研究混沌振动出现的条件，估计出现混沌时系统的参数；（3） 通道，即研究从规则振动通往混沌振动的道路；（4） 识别，即研究混沌振动的定性特征与定量特征，识别的方法和手段；（5） 控制，即由混沌振动的多样性，控制系统参数，灵活地得到所需的各种不同的稳定运动状态；（6） 模拟，即用混沌振动装置，作为简单可靠的拟随机振动发生机构，用混沌信号模拟噪音环境。

2.两自由度碰撞振动系统的强迫振动

2.1.两自由度碰撞振动系统的力学方程及其解耦后的解一个存在间隙的两自由度振动系统的力学模型，质量为 和 的振子分别由刚度为 和 的线性弹簧和阻尼系数为 和 的线性阻尼器相联接，两个振子只作水平方向的运动，并分别受到简谐激振力 的作用。当质量为 的振子的位移 等于间隙 时， 将与刚性平面 碰撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再次与 碰撞，如此往复。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼（ ），碰撞过程由碰撞恢复系数 确定。

2.4.本章总结

本文用解析解求出一类两自由度碰撞振动系统单碰撞周期运动及其Poincaré映射。分析碰撞振动系统的Poincaré映射和周期运动的稳定性，讨论概周期碰撞运动向混沌运动的演化过程。对于存在耦合性质的两自由度碰撞振动系统，首先解耦，利用系统周期运动的边界条件求解微分方程，并且推导Poincaré映射，理论分析了不同系统的周期运动的稳定性。然后在适当的系统参数下，系统发生倍化分岔和Hopf分岔，寻找到系统经环面倍化和Hopf分岔向混沌演化的道路，并且给出了系统在发生混沌运动时的Poincaré映射图。激励频率 是一个影响系统发生分岔和混沌的重要参数，它的微小变化都可能影响系统的整个进程。

3.结 论

在该设计中，把解析法和数值法相结合，全面分析了系统的各种分岔与混沌的形成过程。通过选择一个碰撞界面作为Poincaré映射的截面，证明含间隙系统通向混沌的道路不仅包含倍周期道路、拟周期道路，而且还存在倍周期道路中含有Neimark-Sacker分岔、倍周期道路中含有叉式分岔的复杂道路[4-6]。文中分析了各种分岔及其混沌的演化过程。对其分岔与混沌行为的深入研究为工业实际中含间隙机械系统和冲击振动系统的优化设计提供了理论依据。因而对于含间隙机械系统和冲击振动系统而言，如何趋利避害、进行动力学优化设计、提高可靠性以及降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义[7-9]。一些根本问题的解决，将不仅推动非线性学科的发展，同时为工程设计提供全新的准则。

参考文献：

[1]曹登庆， 孙训芳， 舒仲周. 冲击动力系统的鲁棒稳定分析[J]. 力学学报， 1995， 27（2）： 213-221.

[2]曹登庆， 车辆动力系统横向稳定性的鲁棒性分析[J]. 铁道学报， 1996， 18（5）： 25-29.

[3]张艳龙. 多自由度冲击振动系统的周期运动和分叉. 兰州交通大学硕士论文[D]. 2006.

[4]丁旺才， 谢建华. 碰撞振动系统的一类余维二分叉及 环面分叉[J]. 力学学报， 2003， 35（4）： 504-507.

[5]张有强， 丁旺才. 干摩擦对碰撞振动系统周期运动的影响分析[J]. 振动与冲击， 2009， 28（6）： 110-113.

[6]罗冠炜， 谢建华， 孙训芳. 两自由度塑性碰撞振动系统的动力学研究[J]. 力学学报， 2000， 32（5）： 580-585.

[7]陈敬育， 李伶， 赵令诚. 机翼外挂的次谐颤振响应[J]. 航空学报， 1994， 15（9）： 1081-1084.

[8]Jih-Lian Ha a， Jer-Rong Chang b， Rong-Fong Fung. Nonlinear dynamic behavior of a moving viscoelastic strin undergoing three-dimensional vibration. Chaos， Solitons and Fractals[J]. 2007， 33： 1117-1134.

[9]李万祥， 丁旺才， 周勇. 一类三自由度含间隙系统的分叉与浑沌[J]. 工程力学， 2005， 22（5）： 111-114.

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