一个不等式猜想的证明

摘要：本文利用微积分中拉格朗日数乘法证明了文中的猜想，并推广了猜想。

关键词：不等式；方法；工具

引言：不等式是数学中的重要内容，也是中学数学中的重要方法与工具。证明不等式不仅是初等数学的重要课题，而且也是分析解决其他数学问题的基础。中学数学中证明不等式的方法有许多种，如：均值不等式法，分析法，综合法，放缩法，数学归纳法，几何法等等，然后用这些初等方法证明不等式有时会使运算过程比较繁琐。如果在构造函数的前提下运用微积分的有关知识，就可以比较轻松地解决不等式中的证明问题。其实证明不等式也是一门艺术，它具有自己独到丰富的技术手法。因此，我们在证明不等式时要充分运用函数的思想，充分利用微分与积分的知识来证明不等式，使一些复杂的不等式证明得到更加简洁的证明，也使得一些不等式的证明方法多样化，而拉格朗日数乘法是证明不等式的一个好的方法。

本文将用微积分中的拉格朗日数乘法给李永利老师提出的一个猜想（见后文）做了一个肯定回答。

猜想 设xi＞0，（i=1，2，…n）■xi=1则■（■+xi）≥（■+■）n当且仅当x1=x2=…=xn=■时等号成立。

定理1：设xi＞0，（i=1，2，…，n）■xi=1则■（■+xi）≥（■+■）n当且仅当x1=x2=…=xn=■时等号成立。

证明：∵xi＞0且■xi=1.∴xi∈（0，1）

∴■+xi≥xi+1+■＞1，∴ln（■+xi）＞0.

欲证■（■+xi）≥（■+■）n成立，只须证 证■ln（■+xi）≥nln（■+■）成立即可。

设f=■ln（■+xi）（i=1，2，…，n）且■xi=1下求f在■=1下的极值。

设L=f+λ（x1+x2+…xn-1）=■ln（■+xi）+λ（x1+x2+…xn-1）.

于是从Lx1=■+λ=0，Lx1=■+λ=0，…，Lxn=■+λ=0（其中Lxi表示L对xi求偏导，i=1，2…n）可解出：x1=f（λ），x2=f（λ），…，xn=f（λ）.（其中f（λ）表示λ的函数）。

代入■xi=1有nf（λ）=1，∴f（λ）=■.从而求得，xi=f（λ）=■，i=1，2…n.由于函数f没有最大值，所以x1=x2=…=xn=■就是使函数达到最小的点，而最小值为f（■，■，…，■）=ln（■+■）+ln（■+■）+…+ln（■+■）=nln（■+■）=nln（■+■）

∴■ln（■+xi）≥nln（■+■）恒成立，并且在x1=x2=…=xn=■时取等号。

即，■（■+xi）≥（■+■）n恒成立当且仅当在x1=x2=…=xn=■时取等号。得证。

根据定理1我们有如下定理：

定理2：设aij＞0（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），则

■（ai1+ai2+…aim）≥（■（a1ia2i…ani）■）n成立，当且仅当a11：a22：…：a1m=a21：a22：…：a2m=…=an1：an2：…：anm上式取等号。

证明：令Ti=（ai1+ai2+…aim），i=1，2，…，nT=（a11+a22+…+a1m）（a21+a22+…+a2m）…（an1+an2+…+anm）=T1T2……Tn。

由算术-几何平均值不等式，有（■）■■≤■（■+■+……+■）……（1-1）

（■）■■≤■（■+■+……+■）……（1-2）

（■）■■≤■（■+■+……+■）……（1-3）

…………

（■）■■≤■（■+■+……+■）…（1-m）

将这m个不等式相加得

（■）■■+（■）■■+……+

（■）■■≤■（■+■+……■）■■≤■（■+■+……+■）=1，

所以

［（a11a21…an1）■+（a12a22…an2）■+…+（a1ma2m…anm）■］≤

T=（a11+a21+…an1）（a21+a22+…a2m）…（an1+an2+…+anm）

即不等式（1）成立。（1）取等号当且仅当（1-1）~（1-m）这m个不等式同时取等号，即a11：a22：…：a1m=a21：a22：…：a2m=…=an1：an2：…：anm，猜想证毕.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1981.

[2]陈传璋，朱学炎，金福临，欧阳光中.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]刘玉连，傅沛仁，林钉，苑德馨，刘宁.数学分析讲义第四版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003：259-264.

[4]李永利.一个不等式的推广[J].数学通讯，2007，（17）：28.

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