高等数学在机电专业工程力学中的应用探析

总结.

从第二章的平面汇交力系开始，这一章主要用到了向量，力在轴上的投影和力在坐标轴上的投影都用了向量在轴上的投影来定义，平面汇交力系的合成主要用了向量加法的三角形法则.第三章平面任意力系和第四章的拉伸和压缩则用了大量的数学计算.第五章扭转主要应用了微积分来定义许多名词，例如用微分来定义扭转角dφ=TGIpdx，很自然的，需要用到积分来求φ=∫I0dφ，圆轴扭转时切应变沿半径的变化率γρ=ρdφdx，截面上的扭转T=∫AρτρdA等等用微积分定义的非常多.第六章弯曲除了用一阶导数还用到了二阶导数，像载荷集度、剪力和弯矩这三者之间的微分关系就用一阶导数二阶导数来表示，此外还用到了曲线的凹凸性和函数的极值；用积分来表示静力关系、矩形圆形截面的极惯性矩、梁的变形等等，如挠曲线的近似公式d2ydx2=MEI，就用了二阶导数来表示.第七章应力状态分析和第八章组合变形还有第九章压杆稳定同前面的第三四章一样应用了大量的数学计算.第十章点的运动及合成运动整章都是速度和加速度，这在高等数学中导数的物理意义已经讲明，需要用一阶导数和二阶导数的极限定义来说明，在速度合成内容中就很明显的要用到向量了.第十一章刚体的运动同第十章类似都是用一阶和二阶导数来定义速度和加速度.第十二章动力学基础和第十三章动能定理中微分方程、积分、导数更是贯穿了整个章节，如质点运动的微分方程Fx=mdvxdt=md2xdt2，Fy=mdvydt=md2ydt，变力在曲线路程的功、合力的功、常见力的功等等都用定积分来进行定义，质点动能定理的微分形式d12mv2=δW等等.可以说，除了第一章静力学基础是理论叙述以外，整个一本书都应用了大量的高等数学内容来定义和并且具有大量的数学计算；不仅如此，有些题目在解决时还要用到数学建模的最优化问题，例如在第三章里求解物体系统的平衡问题时选择“最佳解题方案”问题.

现从《工程力学》中举一个例题如下，我们可以从中看一下高等数学内容在其中应用的广泛性.

例1有一电车质量m=104kg，沿直线道路起动时的牵引力F随时间t成正比增加，牵引力增加规律为F=1176tN，初速度为0，最大摩擦力Fmax=1960N，求电车运动方程.

解研究电车，沿道路方向的牵引力F及摩擦力Fmax，当F

电车运动微分方程mdvdt=F-Fmax=1176t-53.

积分∫v0dv=1176m∫tt1t-53dt=1176104∫t53t-53dt，故速度v=0.0588t-532.

再积分一次，得∫s0ds=∫t53vdt=0.0588∫t53t-532dt.

初始条件为积分下限，运动开始瞬时t=t1，v=0，s=0；运动任意时刻是积分上限，所以运动方程为s=0.0196t-532mt≥53s.

不管是从定义、定理还是从例题中，我们都可以看出高等数学的内容在工程力学中的广泛应用.作为数学教师，为了适应时代的发展，培养对社会有用的人才，都应该从各个方面努力培养学生学习数学的兴趣，培养他们的计算能力、分析问题的能力和创新能力，使学生认识到数学的广泛应用性，排除“数学无用论”的思想.

【参考文献】

[1]R·柯朗，H·罗宾.什么是数学[J].复旦大学出版社，2004（9）.

[2]邱家俊.工程力学[J].机械工业出版社，2012（8）.

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